Saturday, December 23, 2017

Η εκδίκηση του Πυθαγόρα; [ Επίμετρο ]

Αγαπητό Ημερολόγιο,

άιντε να δούμε μια στάλα, πού στο καλό στεκόμαστε, μετά από τόση ανηφοριά. Σιγά την ανηφοριά, θα μου πεις. Τα παράλληλα αναγνώσματα, που έκανα και κάνω αυτή την περίοδο, φανερώνουν ότι μόλις που ανοίξαμε τον ασκό του Αιόλου. Μόνο γι' αρχή, ανακάτεψε τα μαλλιά μας (ποια;) ένας ελαφρύς, δροσιστικός πουνέντες. Ακόμα δεν έχουμε πάρει χαμπάρι από τις τραμουντάνες και τους γραιγολεβάντηδες, που σαρώνουν τα θεμέλια της σκέψης. Το θαυμαστό (όσο κι εκνευριστικό) σε τούτο το μαθηματικό κόσμο είναι πως πιάνεις μια χαλαρή αφετηρία, έτσι να πλατσουρίσεις στα ρηχά, και ξάφνου βρίσκεσαι στο χείλος της αβύσσου. Καμία ελπίδα να χαλαρώσεις, να ξεφύγεις απ' τον ίλιγγο! Κάθε ελάχιστη γωνιά των Μαθηματικών, κάθε απειροστό χνάρι και ψίθυρος, είναι από μόνο του μια σπειροειδής κατρακύλα ή μια πύλη μύησης, προς τα ριζώματα του Ομήρειου Άδη.

Ετούτη έννοια του Συνεχούς οδηγεί το νου στα όρια της αντίληψης και της οραματικότητας. Το να πεις «άπειρο», το λέει κι ένα παιδί. Να το βάλεις κάτω και να το φανταστείς σαν κτίσμα ή ζωγραφιά, να του φτιάξεις χάρτη, παρομοίωση ή τη σωστή αναλογία, ε, εδώ σε θέλω! Ανοίγουν, λοιπόν, το ένα ερώτημα, πίσω από τ' άλλο. Κι εκείνη η αρχική δυσφορία για τις προσωπικές ικανότητες, σε κάποιο βαθμό, γαληνεύει: έχει κάθε δίκαιο να ζορίζεται το ελάχιστο πιόνι, όταν παλεύει με δυνάμεις που 'χουν γονατίσει πύργους και βασίλισσες. Να πιάσεις από την παρακμή των Πυθαγορείων, τον «πρόσκαιρο» θρίαμβο του Ζήνωνα και την ανάδειξη της μεγαλοφυίας ενός Εύδοξου, μέχρι τις Ακολουθίες του Cauchy, τις Τομές του Ντέντε και τους προβληματισμούς του Hilbert, δεν είναι πράγμα επιπόλαιο και ταπεινό. Τι να κλάσω κι εγώ, ο καημένος;

Λείπει απ' τη λαϊκή βιβλιογραφία κι αρθρογραφία, Ημερολόγιο, ένα πόνημα που να σε πιάνει απ' την αρχή και να σε οδηγεί, μέσα απ' την πορεία την ανθρώπινης σκέψης και τις δυσκολίες της, στη σημερινή αξιωματική θεμελίωση, με τα κέρδη και τις αδυναμίες της. Θα μου πεις, τώρα, πως θέλω την τροφή μασημένη και τη σουπίτσα μου ζεστή. Πάω πάσο. Μα κι εγώ κλαίγομαι λίγο περισσότερο, επιδίωκοντας έναν κάποιον οίκτο της οκνηρίας μου. Δεν είναι, φυσικά, πως δεν χαίρομαι τούτο το κυνήγι του χαμένου θησαυρού. Κι αν το σκεφτείς, δεν είναι η οκνηρία, στο βάθος, που με αποθαρρύνει, παρά ένα βαρύ συναίσθημα ανεπάρκειας, μια δυσθυμία που πηγάζει de profundis. Ευτυχώς, ψάξε-ψάξε, έπεσα κάποτε πάνω σε τούτην τη Διπλωματική Εργασία «Από τη διαίσθηση του Συνεχούς στη Θεμελίωση των Πραγματικών Αριθμών» μια καλής κυράς, της Μορφούλας Ιακώβου, όπου η γυναίκα κάνει αυτό ακριβώς που πρέπει ρε φίλε: τα πιάνει όλα σχεδόν από το μηδέν και τα χτίζει τούβλο-τούβλο, συγκεντρώνοντας τα σημαντικότερα στοιχεία της αντιληπτικής και της ιστορικής πορείας. Γιατί, για κάποιο λόγο, έχω παρατηρήσει πως τούτες οι κλιμακωτές, ιστορικές προσεγγίσεις βοηθάνε πολύ τη σκέψη μου. Συνήθως, τα βασικότερα ερωτήματα που με κατατρύχουν, περιστρέφονται όχι γύρω απ' το αντικείμενο καθαυτό, μα περισσότερο γύρω απ' τις αναγκαιότητες που οδήγησαν στην τάδε ή στη δείνα (παγιωμένη ή μη, σημερινή) αντίληψή του. Και η Μορφούλα κάνει καλή δουλειά και στέκεται σωστή παραστάτης, γι' ανθρώπους σαν και μένα.

Καλό Ημερολόγιο, δεν είναι κρίμα κι άδικο, παράξενο μεγάλο, να τελειώνει κανείς μια Σχολή και να μην έχει πάρει πρέφα, από όλη ετούτη την ομορφιά των ιδεών, τις μάχες; Και μην τα ρίξεις όλα σε μένα, για τους αμέτρητους φραπέδες, που υποκατέστησαν τις συνεπείς παρακολουθήσεις. Για πιάσε να θυμηθείς μια στάλα όλη εκείνη την ανεπάρκεια, τη βαρεμάρα και τη φορμόλη, που κυκλοφορούσε στους καθηγητικούς κύκλους και δε θα σου μείνουν περισσότερα από 4-5 φωτεινά παραδείγματα. Σε γενικές γραμμές, περάσαμε από ένα Πανεπιστήμιο, περισσότερο προέκταση της σχολικής νοοτροπίας και της γραφειοκρατικής διεκπεραίωσης, παρά προθάλαμο σωστή επιστήμης. Δεν υπήρχε ελπίδα αφύπνισης εκεί μέσα, δηλαδή άλλη απ' όση επαφιόταν στις προσωπικές δυνάμεις και την αντίληψη του καθενός. Μαθηματικός, τέλος πάντων, δε βγήκα. Πτυχίο μπορεί να πήρα, αλλά Μαθηματικός... κλάφ'τα Χαράλαμπε! Είναι τα επόμενα χρόνια - ορθότερα τα τελευταία χρόνια - που παλεύω να ανέλθω πάλι στο βάθρο, αυτό το ταπεινό μικρομεσαίο βάθρο, στο οποίο συνωστιζόμαστε οι περισσότεροι από εμάς τους καθηγητές της Δευτεροβάθμιας.

Ακούγεται σαν έκπτωση, αυτό το τελευταίο, αλλά μόνο σε όσους δεν καταλαβαίνουν καλά τη φύση της δουλειάς μας. Αλλά αυτά, σε άλλη κουβέντα μας, καλέ μου φίλε. Τώρα που πέσαμε σ' αυτή τη λούμπα των Πραγματικών και του Συνεχούς, άντε να κερδίσουμε ξανά τη χαμένη αθωότητα και τη χαρά της άγνοιας.

Wednesday, December 20, 2017

Η εκδίκηση του Πυθαγόρα; [Μέρος 4ο]

Ημερολόγιο,

αποφάσισα να σπάσω την προηγούμενη ανάρτηση σε δύο μέρη, όπως κάνουν οι μοντέρνες κινηματογραφικές τριλογίες. Εκείνες, βεβαίως, το κάνουν για να κονομήσουν κανά φράγκο παραπάνω. Εγώ πάλι μήπως κονομήσω κάνα συγκροτημένο νόημα. Ας πιάσουμε το κουβάρι μας, ξανά, από εκεί που τ' αφήσαμε, μερικά kilo-bits νωρίτερα.

Ας υποθέσουμε, λοιπόν και σύμφωνα με τον καλό Ρίτσαρντ, ότι με κάποιον κανόνα μπορούμε να χωρίσουμε το σύνολο των Ρητών σε 2 Κλάσεις - να τις πούμε (α) και (Α), όπως κάνει ο Brand - τέτοιες ώστε να πληρούνται οι παρακάτω προϋποθέσεις:
  • Κάθε Ρητός ανήκει είτε στην (α), είτε στην (Α).
  • Καμία Κλάση δεν είναι κενή.
  • Κάθε στοιχείο της (α) είναι μικρότερο από κάθε στοιχείο της (Α).
Τούτο εδώ, δεν είναι τόσο φοβερό, όσο ακούγεται εν πρώτοις. Άμα πιάσεις π.χ. τον 7 και σκεφτείς ότι όλοι οι Ρητοί είναι ή μικρότεροι του 7 ή μεγαλύτεροι-ίσοι, έχεις κάνει ακριβώς αυτό, για το οποίο μιλάμε. Ένας τέτοιος εξαντλητικός διαχωρισμός, λοιπόν, καλείται Τομή Dedekind (των Ρητών) και τον γράφουμε α|Α . Αν περιδιαβείς μια στάλλα στο διαδίκτυο, θα διαπιστώσεις ότι από άρθρο σε άρθρο ο ορισμός ετούτος εμφανίζεται σε διάφορες παραλλαγές, στην τελική φυσικά ισοδύναμες. Κάποιες αναλύσεις ήταν εξαιρετικά δείγματα ζυγισμένης έκτασης, περιγραφικής λιτότητας και ουσίας, κάποιες άλλες ωστόσο - αρκετές - ήταν απλά φτωχές, κακογραμμένες ή και τα δύο. Η δική μου, τουλάχιστον, δεν τσιγγουνεύεται τα λόγια. :D

Άμα κάτσουμε τώρα να καλοσκεφτούμε, πάνω στις Τομές του Ντέντε (το χαϊδευτικό του), υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:

1η Περίπτωση

Η Κλάση (α) περιέχει έναν μεγαλύτερο Ρητό, να τον πούμε m . Τότε για κάθε αριθμό α∈(α) και για κάθε αριθμό Α∈(Α), θα είναι: α ≤ m , A > m

2η Περίπτωση

Η Κλάση (A) περιέχει έναν μικρότερο Ρητό, να τον πούμε M . Τότε, θα είναι: α < M , A ≥ M

3η Περίπτωση - Άτοπο

Η Κλάση (α) περιέχει έναν μεγαλύτερο Ρητό m κι η (Α) έναν μικρότερο M. Όμως, στην περίπτωση αυτή, ο Ρητός (m + M)/2 θα βρισκόταν ανάμεσα στους m και Μ και συνεπώς δε θ' άνηκε σε καμία από τις δύο Κλάσεις. Τούτο 'δω, όμως, είναι άτοπο, καθώς η Τομή εξ' ορισμού δεν αφήνει κανένα Ρητό εκτός.

Είναι φανερό, λοιπόν, από τα προηγούμενα, ότι κάθε Ρητός αριθμός αποτελεί ένα ξεκάθαρο σύνορο, μεταξύ δύο κλάσεων, είτε ως μεγαλύτερος στη μία, είτε ως μικρότερος στην άλλη. Συνεπώς κι αν, επιπλέον, θεωρήσουμε - δίχως βλάβη - κάθε Ρητό αριθμό, ως το μικρότερο στοιχείο της (Α) (αγνοώντας, δηλαδή, την πρώτη περίπτωση), τότε υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των Ρητών και των Τομών (της 2ης περίπτωσης), που παράγουν. Τι κάναμε δηλαδή εδώ; Ουσιαστικά, ορίσαμε τους Ρητούς, μ' έναν νέο τρόπο, ως Τομές Dedekind. Μπορούμε δηλαδή αντί για (π.χ.) 43, να λέμε 43 = α|Α , όπου (α) = {x∈ℚ: x < 43} και (Α) = {x∈ℚ: x ≥ 43}. Δεν περιμέναμε τίποτα λιγότερο, φυσικά, από τους Μαθηματικούς. Πέρνουν έναν απλό αριθμό κι άμπρα-κατάμπρα τον μεταμορφώνουν σε ύλη Πανελληνίων.

Στο σημείο αυτό έχουμε καταφέρει το μισό πρόβλημα: το σύνολο των Ρητών, που είχαμε ορίσει προηγουμένως, αποτελεί ειδική περίπτωση και άρα υποσύνολο του νέου μας συνόλου. Έτσι, εξασφαλίσαμε μια «προς τα πίσω» συμβατότητα.

4η Περίπτωση

Ας υποθέσουμε, τώρα, πως ούτε η Κλάση (α) περιέχει μεγαλύτερο αριθμό, ούτε η (Α) μικρότερο. Χαμός! Τούτο 'δω το γλιστερό πράμα, Ημερολόγιο, να, τούτο 'δω το αντιδραστικό στοιχείο που μόλις φτιάξαμε, αυτό είναι ο πρώτος μας Άρρητος. Είναι να πούμε ένα σύνολο, που 'χει μια σκοτεινιά στη μέση, μιαν άβυσσο, μαζί με την άβυσσο αυτή - ακριβώς, όπως η τρύπα του λουκουμά κάνει το λουκουμά λουκουμά, αλλιώς θά 'τανε κάτι άλλο. Το κλασικό παράδειγμα, που συναντώ όχι μόνο στον Brand αλλά και στο διαδίκτυο είναι το εξής:

Έστω ως κλάση (α) όλοι οι αρνητικοί Ρητοί, καθώς κι οι θετικοί εκείνοι των οποίων το τετράγωνο είναι μικρότερο του 2 κι από την άλλη ως κλάση (Α) όλοι εκείνοι οι θετικοί Ρητοί, των οποίων το τετράγωνο είναι μεγαλύτερο του 2. Φυσικά, δεν υπάρχει Ρητός τέτοιος, ώστε το τετράγωνό του να είναι ίσο με 2 κι έτσι καμία από τις δύο κλάσεις δεν έχει μεγαλύτερο ή μικρότερο στοιχείο, στο άκρο που μας ενδιαφέρει. Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε ως √2 την παραπάνω Τομή, δηλαδή: √2 = α|Α , όπου (α) = {x∈ℚ: x<0 ή x2 < 2} και (Α) = {x∈ℚ: x2 > 2} . Δεν ξέρω αν είναι εντελώς σωστό, αν διατύπωνα με τα πιο τετριμμένα, σχολικά μας σύμβολα, πως ένας άρρητος ορίζεται ως ακριβώς το Συμπλήρωμα του διαστήματος (−∞ , lim(x) όταν x2→2−)∪(lim(x) όταν x2→2+ , +∞), πάντα με x∈ℚ.

* * *   * * *   * * *

Τώρα κάπως να κλείσω, ετούτη τη μακροσκελή ανάπτυξη, που θα μπορούσε να 'ταν τριαντα-εφτά φορές μικρότερη. Τον αρχικό ενθουσιασμό μου τον εξάντλησα, διάχυτο μέσα στο κείμενο, κι έτσι δεν έχω μεγάλες κουβέντες, άλλες να εκθέσω. Θεμελιώσαμε το τιτάνιο οικοδόμημα των αριθμών και των πολύπλοκων αριθμητικών σχέσεων, μονάχα πάνω στην απλότητα των Φυσικών αριθμών κι αν αυτό δεν αρκεί, ώστε να προκαλέσει το θαυμασμό, τότε δεν ξέρω τι άλλο θα μπορούσε, τέτοιοι ξινομούρηδες που είσαστε. Περιττό να αναφέρω (το αναφέρω παρ' όλα αυτά) ότι με την ίδια φόρα, που ξεκινήσαμε, έτσι προχωρούμε και στους μιγαδικούς, ορίζοντάς τους ως ζεύγη Πραγματικών και τηρώντας την παραδοσιακή φόρμα ξελασπώματος. Για διάφορους λόγους ψυχολογικούς ωστόσο - εύκολο το 'χεις να 'σαι γεροντοκόρος; - δεν ήθελα καθόλου, ν' ασχοληθώ εδώ με μιγάδες. Δε γούσταρα ρε αδελφέ, ώχου!

Είναι τεράστιας σημασίας - ή έστω θα ήταν πριν από 2,5 χιλιάδες χρόνια - το γεγονός, πως είναι δυνατή μια αριθμητική σύλληψη, που δε χρειάζεται παρά τους Φυσικούς. Και πολλή-πολλή κουβέντα κι ευφυΐα, βεβαίως. Είναι μια έμμεση και απελπιστικά καθυστερημένη δικαίωση της Πυθαγόρειας διαίσθησης; Όπως το αντιλαμβάνομαι εγώ, πολύ πιθανόν. Το πρόβλημα, τελικά, δεν ήταν τόσο πρόβλημα εγκυρότητας, γύρω απ' την παντοκρατορία της Μονάδας, όσο η ιστορική, αποδεικτική ικανότητα της εποχής του Πυθαγόρα. Δυστυχώς ή (συχνότερα) ευτυχώς, τα Μαθηματικά - αλλά και κάθε επιστήμη - είναι γέννημα-θρέμμα του Πολιτισμού και όχι του ζωϊκού ενστίκτου. Προϋποθέτουν με άλλα λόγια μια Πόλη, δηλαδή μια κοινωνία, κι όχι την απομόνωση και τον εγωισμό, που σε στέλνουν αδιάβαστο πίσω στη σπηλιά και το φόβο. Έτσι και τα Μαθηματικά, γεννιούνται με την Κοινωνία, ενηλικιώνονται με την Κοινωνία και μαζί της ωριμάζουν ή πεθαίνουν. Οι Πυθαγόρειοι ήταν καταδικασμένοι, μόνο και μόνο, γιατί διήρκεσαν λιγότερο απ' το χρονικό διάστημα, που απαιτούσαν οι συνθήκες, ώστε να ξεπεραστεί η κρίση συνολικά, από την - ας την πούμε - συλλογική, ανθρώπινη συνείδηση. Σε μια δεύτερη σκέψη κι αυτοί οι ίδιοι οι θάνατοι των ιδεών έρχονται κάποτε, ως αναπόσπαστα συστατικά της ωρίμανσής τους: αυτό ακριβώς το πένθος τροφοδοτεί τους κληρονόμους, με τα αδιέξοδα μα και το πείσμα της δικαίωσης. Κάποτε - όχι πάντα - κάποιοι νεκροί τελικά ησυχάζουν.

Έχουν, τώρα, διατυπωθεί διάφορες ενστάσεις ως προς τις συλλήψεις του Dedekind και την επάρκειά τους. Χοροπηδώντας, ίδιο κρι-κρι, από βραχάκι γνώσης σε βραχάκι, έτσι, μέσα στο νου μας και συν τω χρόνω, παίρνει σχήμα το βουνό ολάκερο. Μόνο θραύσματα γνώσης συλλέγω, από 'δω κι από 'κει, σαν το ζητιάνο. Και με τις λιγοστές δυνάμεις αυτοσυγκέντρωσης, που απομένουν στο τέλος της ημέρας, παλεύω να αποκρυπτογραφήσω τη συνολική εικόνα. Έχει πολύ δρόμο μπροστά, ετούτο το πιθάρι των πραγματικών που ανοίξαμε και, φυσικά καλό μου Ημερολόγιο, θα επανέλθω. Η βιαστική χαρά εκείνη της πρώτης συνειδητοποίησης, όταν από πέρσι έψαχνα ευκαιρία να συγκεντρώσω αυτές τις σκέψεις, έχει αντικατασταθεί πια από μια συγκρατημένη επιφύλαξη.

* * *   * * *   * * *

Ημερολόγιο, κουράστηκα πια μ' ετούτη τη γραφή. Θα επανέλθω σχεδόν στα σίγουρα αύριο, όπως το συνηθίζω, να ρετουσάρω τα σημεία. Το κείμενο ωστόσο, συνολικά, ας παραμείνει αυτό που είναι. Άσε τις αναθεωρήσεις γι' αλλού και γι' άλλοτε. Είναι καλό να φαίνεται το σκαλοπάτι που πάτησες χθες κι αντιπροχθές, για πολλούς λόγους, μα ο σημαντικότερος: μην παρανοήσεις - από ανοησία ή έπαρση - πώς έφτασες εκεί, καταμεσίς στην άβυσσο... πετώντας. Και πιάσεις μετά να πετάξεις, ξανά. Να φιλάς το χάρτη με το θησαυρό σου αν θες να τόνε ξαναβρείς. Έτσι ακριβώς όπως κι οι γόμμες σέβονται τα σφάλματα, δίχως ποτέ να σβήνουν το ουσιαστικό: αυτές τις χαρακιές και τις μουτζούρες στο χειρόγραφο, την αδιαμφισβήτητη δηλαδή μαρτυρία του λάθους. Που δεν είναι λάθος καθαυτό, παρά η πληγή μιας μάχης. Μιας μάχης, που δίνεται πάνω στο χαρτί κι είναι κι ετούτη μάρτυρας μιας άλλης μάχης, του νου. Κι αυτή η αλληλουχία των μαχών σταματημό δεν έχει. Εκτός απ' αυτά τα μηχανήματα του Σατανά, με τα ντιζαϊνάτα πληκτρολόγια και τις ξεκούραστες οθόνες, όπου τα πάντα χάνονται ανεπιστρεπτί μ' ένα τυχαίο πάτημα, σαν να μην ύπηρξαν ποτέ. Το τυπωμένο κείμενο φαίνεται σαν νά 'ταν πάντα τέτοιο. Πύρρειος νίκη γι' αυτόν που γράφει, μ' ακόμα-ακόμα και γι' αυτόν που το διαβάζει.

Λοιπόν, Ημερολόγιο, άμα περίμενα από σένα να με σταματήσεις, θα πιάναμε Παρασκευή κι ακόμη θα 'γραφα. Σε κλείνω, κάπου εδώ, με την υπόσχεση να τα ξαναπούμε σύντομα. Ετούτο το κουτί του Dedekind, που ανοίξαμε, άφησε να ξεχυθούν λεύτερες όλου του κόσμου οι άγνοιες και οι απορίες, σαν άλλη Πανδώρα. Άιντε καληνύχτα, καλέ φιλαράκο! Τα ξαναλέμε, σύντομα.

Saturday, December 16, 2017

Η εκδίκηση του Πυθαγόρα; [Μέρος 3ο]

Αγαπητό Ημερολόγιο,

ένας κάποτε καλός φίλος - στα τελευταία του, όταν δηλαδή δεν ήταν πια καλός - με είχε κατηγορήσει για φλυαρία, μη συνάδουσα με τη μαθηματική ιδιότητα. Είχε απόλυτο δίκιο. Αν και φυσικά μπέρδευε τα Μαθηματικά με τους Μαθηματικούς, καθώς οι τελευταίοι - ως άνθρωποι - υπόκεινται σε όλα τα συνηθισμένα ανθρώπινα ελαττώματα. Κι εγώ, τότε, δεν του μιλούσα βεβαίως ως Μαθηματικός, παρά ως φίλος. Όπως μιλώ και σε σένα τώρα, Ημερολόγιο. Αλλά κοίτα να δεις που φλυαρώ, για να δικαιολογήσω τη φλυαρία! Άβυσσος η ψυχή του ανθρώπου και πάμε να κλείσουμε ετούτη την τριλογία πομφολυγορρημοσύνης, που μας έβγαλε την ψυχή. Πάμε να μιλήσουμε για την όμορφη επικράτηση των Φυσικών, επί παντός των αριθμητών.

* * *   * * *   * * *

Καταρχάς, αλλά και καταρχήν, ας θεωρήσουμε τους Φυσικούς ως αριθμούς δεδομένους κι αυτονόητους, με την ίδια παιδική σοφία ή αφέλεια, με την οποία δεχόμαστε ως δεδομένο το αμετάκλητο της μητρικής αγάπης ή την αναρίθμητη περατότητα των κόκκων της άμμου. Το μυστικό της συνταγής, στη συνέχεια, είναι το εξής: αντί ν' απαιτούμε διαρκώς την εισήγηση νέων αριθμών, ικανοποιούμε τις ανάγκες μας ορίζοντας, με κατάλληλο τρόπο, νέες σχέσεις ανάμεσα στους ήδη υπάρχοντες. Με άλλα λόγια, στους πρωτογενείς και θεμελιώδεις, καλούς μας Φυσικούς. Σε μια πρώτη, επιφανειακή προσέγγιση, μπορεί κι ο πλέον αδαής να υποψιαστεί τους στόχους μας. Ας κάτσει, να πούμε, κι ας αναλογιστεί τα τετριμμένα μας σχολικά κλάσματα, τα οποία με απλούς ακεραίους φτιάχνουν ένα ολάκερο, καινούργιο κόσμο. Εσαεί μετέωρες διαιρέσεις, τέλειες ή μη, παγιωμένες σε μορφή παστρική και νοικοκυρεμένη: οι ολοκάθαροι ακέραιοι του κλάσματος, σχεδόν θριαμβεύουν πάνω στον βασανιστικό ;D ευκλείδειο αλγόριθμο και τα διαβολικά, δεκαδικά του αποκυήματα. Ας ανέβουμε, λοιπόν, ένα σκαλί πιο πάνω, στην κλίμακα της μαθηματικής αυστηρότητας. Με ποιο, λοιπόν, τέχνασμα μπορεί να ορίσει κανείς τους Ακεραίους, εκ νέου; Τελικά, τι διάολο είναι ένας Ακέραιος - ή ακόμα καλύτερα: τι διάολο είναι ένας Αρνητικός Ακέραιος;

Ακέραιοι

Χωρίς να εμβαθύνουμε σε τίποτα λεπτομερείς αποδείξεις, μιλώντας για Κλειστότητες, Σώματα κι ό,τι άλλο, τέλος πάντων, ξεχωρίζει τον πραγματικό Μαθηματικό από τον φλούφλη (μην πας μακριά), θα σου παραθέσω τώρα Ημερολόγιο, το πώς περίπου έχει η βασική ιδέα (σχεδόν, σου αντιγράφω τον Brand). Πιάνουμε το λοιπόν τη διαφορά δύο Φυσικών, ας πούμε α – β, και την ταυτίζουμε με το ζεύγος (α, β) . Με βάση τούτη 'δω την ταύτιση και αρωγό μια στάλα πονηράδα - γνωρίζοντας εκ των προτέρων τις απαντήσεις, που περιμένουμε - ορίζουμε από την αρχή το τι σημαίνει ισότητα, καθώς επίσης και τις βασικές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Γράφουμε, δηλαδή, περίπου τα εξής:

(α, β) = (γ, δ) ⇔ α + δ = β + γ
(α, β) + (γ, δ) = (α + γ, β + δ)
(α, β) ∙ (γ, δ) = (αγ + βδ, αδ + βγ)

Με αυτά κατά νου, δεν απέχει πολύ η σύλληψη μιας νέας εικόνας για τους Ακεραίους. Διαπιστώνει κανείς, δηλαδή, ότι τα ζεύγη ετούτα, κατάλληλα μετεγραμμένα, είναι σούπερ ισόμορφα με τους συνήθεις ύποπτους του ℤ. Ορίζουμε, λοιπόν, τους Ακεραίους ως τις παρακάτω τρεις μορφές ζευγών (με x∈ℕ):
  • Ζεύγη της μορφής (α + x, x) ,
    τα οποία ταυτίζονται με τους καλούς μας Φυσικούς (προφανώς, αφού α + x – x = α).
  • Ζεύγη της μορφής (x, α + x) ,
    τα οποία ταυτίζονται με τους Αντίθετους των προηγούμενων (προφανώς, αφού x – α – x = – α).
  • Ζεύγη της μορφής (x, x) ,
    τα οποία ταυτίζονται με το Ουδέτερο Στοιχείο της πρόσθεσης (προφανώς, αφού x – x = 0).
Είναι μαγικό, αν σκεφτεί κανείς, πως η «απαίτηση» ενός νέου αριθμού καθίσταται, με αυτό τον τρόπο, περιττή και μπορεί να αντικατασταθεί από τη σύλληψη μιας νέας σχέσης. Φυσικά, κανείς δεν μας απαγορεύει να βαφτίσουμε ετούτη εδώ τη σχέση «νέο αριθμό», δεδομένου ότι κάθε σχέση είναι κάτι διαφορετικό από τα μέρη της και τα υπερβαίνει. Αλλά ετούτο το «νέο» δεν έχει φτιαχτεί, παρά με τα γνήσια, παραδοσιακά υλικά της γιαγιάς και του παππού. Θα μπορούσες να κάνεις ένα σωρό σκέψεις, πάνω σε τούτα. Και δε μιλώ γι' αποδείξεις και τα σχετικά, Ημερολόγιο, παρ' ότι θα 'ταν αρκούντως διασκεδαστικό να κάτσει κανείς να επαληθεύσει τις ιδιότητες των πράξεων, στα προηγούμενα. Μα τώρα μιλώ για μεταφορές και παρομοιώσεις, φιλοσοφήματα και ποιήσεις, ρεμβασμούς της προκοπής ή άλλους της δεκάρας. Παρατήρησε, για παράδειγμα στα προηγούμενα, ότι το Μηδέν ορίζεται ως μια σχέση οποιουδήποτε Φυσικού με τον εαυτό του. Το Μηδέν δεν έχει την παραμικρή χρεία να γεννηθεί ως νέος και «περίεργος» αριθμός. Του αρκεί να λανθάνει ως σχέση αυτοπαθής, μέσα στα ίδια αυτά τα σπλάχνα κάθε αριθμού!

Ρητοί

Αγαπητό Ημερολόγιο, φαντάζεσαι τώρα ό,τι φαντάζομαι; Έπεσες διάνα, ρε μπαγάσα! Θα προχωρήσουμε, τώρα, στη θεμελίωση των Ρητών, με τρόπο παρόμοια πονηρό και τσαχπίνικο. Με σκέψεις ανάλογες, μα ένα σκαλί πιο πάνω, παλεύουμε να ταυτίσουμε το ζεύγος Ακεραίων (α, β) με το πηλίκο τους α / β . Ορίζουμε ισότητα και πράξεις, όπως ακριβώς και νωρίτερα (με x∈ℤ, x ≠ 0):

(α, β) = (γ, δ) ⇔ α ∙ δ = β ∙ γ
(α, β) + (γ, δ) = (αδ + βγ, βδ)
(α, β) ∙ (γ, δ) = (αγ, βδ)

Αν αποφύγουμε τις αποδεικτικές επικύρωσεις όλων των γνωστών και ποικίλων ιδιοτήτων, που απαιτούνται, καταλήγουμε και πάλι στις παρακάτω χαρακτηριστικές κατηγορίες:
  • Ζεύγη της μορφής (αx, x) ,
    τα οποία ταυτίζονται με τους συνηθισμένους μας Ακεραίους (προφανώς, αφού αx / x = α).
  • Ζεύγη της μορφής (x, αx) ,
    τα οποία ταυτίζονται με τους Αντίστροφους των προηγούμενων (προφανώς, αφού x / αx = 1/α).
  • Ζεύγη της μορφής (x, x) ,
    τα οποία ταυτίζονται με το Ουδέτερο Στοιχείο του πολλαπλασιασμού (προφανώς, αφού x / x = 1).
  • Ζεύγη της μορφής (0, x) ,
    τα οποία ταυτίζονται με το Ουδέτερο Στοιχείο της πρόσθεσης (προφανώς, αφού 0 / x = 0).

Άρρητοι

Κι όμως, ετούτη η πηγαία χαρά, που κατακλύζει την ψυχή με την απλότητα και την καθαρότητά της, είναι γραφτό να παγώσει, απότομα, τίποτα χαμόγελα και πρόωρους ενθουσιασμούς. Η ορθή-κοφτή απόδειξη περί μη ρητότητας της τετραγωνικής ρίζας του 2 είναι κατηγορηματική: υπάρχουν ένα σωρό αριθμοί, άλλοι από αυτούς που γνωρίζουμε αβίαστα και περιγράφουμε, με σχετικό αυθορμητισμό. Και μάλιστα αναρίθμητοι! Τι αριθμοί, τώρα, είναι ετούτοι οι διάολοι, που 'ρθαν να μας βασανίσουν και να κρατήσουν τις βραδιές μας αβασίλευτες, ξεγλιστρώντας σα χέλια; Άμα πιάσεις τη δεκαδική τους μορφή δε σε φτάνει μια αιωνιότητα και μια μέρα. Εκτός κι αν είσαι Μηχανικός, οπότε τους σφάζεις κατά το μέτρο, που 'χεις τη μεζούρα ακονισμένη. Στο κάτω-κάτω δεν υπάρχει πιο εύκολο πράγμα, από το να χτίσεις ένα διαγώνιο τοίχο, σ' ένα τετράγωνο σπίτι με πλευρά 1. Ο Μαθηματικός όμως είναι άλλο. Κάθεται πάντα σ' αναμμένα κάρβουνα κι άμα πέφτει το βράδυ για ύπνο, δεν κλείνει μάτι, με τόσα Άπειρα πυρωμένα στον εγκέφαλο. Προσωρινά, γράφει √2, μα τούτος ο συμβολισμός δε λέει και τίποτα, όπως δε λέει τίποτα, ως προς την ποιότητα του ανθρώπου, αν μας συστηθεί κανένας Ναβουχοδονόσορας.

Ο Ριχάρδος Ντέντεκιντ προσπάθησε να στριμώξει αυτούς τους ασύδοτους τύπους με μια δυναμική σύλληψη, παρά με τη στατικότητα, που χαρακτηρίζει τις προηγούμενες στρατηγικές μας. Εφηύρε ένα καινούργιο εργαλείο, που τό 'παμε Τομή Dedekind προς τιμήν του (εκτός κι αν ήταν τόσο ψώνιο και τις ονόμασε έτσι από μόνος του) και το οποίο εκμεταλλεύεται - όπως κάναμε νωρίτερα - το σύνολο των προηγούμενων αριθμών, δηλαδή των Ρητών, προκειμένου να ορίσει τον Άρρητο. Η Τομή αυτή είναι δυναμική - όπως την αντιλαμβάνομαι εγώ - καθώς προϋποθέτει έναν κανόνα, που μεταβάλλεται κατά περίπτωση και με τον οποίο διχοτομούμε κάθε φορά το σύνολο των Ρητών σε δύο μέρη - να τα πούμε Κλάσεις.

Είναι δυναμική επιπλέον και για ένα ακόμα λόγο: αντιλαμβάνεται τους Άρρητους ως «τρύπες», μεταξύ των Ρητών. Και μια τρύπα δεν την πλησιάζεις ποτέ μπαμ κι έξω (ή μάλλον μέσα), εκτός κι δεν αγαπάς τη ζωούλα σου ή οδηγάς στους ελληνικούς δρόμους. Μια τρύπα την πλησιάζεις σιγά-σιγά και με προσοχή. Αν είσαι τυχερός κι κλίση το επιτρέπει, μπορεί να την πλησιάζεις για πάντα, ροβολώντας όλο και βαθύτερα, σα ξέγνοιαστη βόλτα στην αγκαλιά ενός άπειρου κρατήρα. Το σύνολο των Ρητών είναι πνιγμένο σ' αυτές τις τρύπες, άπειρα πυκνές, άπειρα βαθιές και ξέφραγα αμπέλια. Μπορεί κανείς να παίζει μπαλίτσα, όσο κοντά γουστάρει ή τολμά, μα να 'χει κατά νου πως αρκεί ένα στραβοκλώτσι και το ρητό του τόπι, αντί να βρει μάντρα στέρεη, να γκελάρει πίσω, θα χαθεί για πάντα στο βάθος, ίσια καταπάνω στο κεφάλι ενός ανυποψίαστου Άρρητου - αν υποθέσουμε, δηλαδή, ότι η μπαλίτσα θα πέσει τελικά κάπου και δε θα τελεί σε κατρακύλα, στον αιώνα των άπαντα.

[ Ημερολόγιο, η συνέχεια στο 4ο και τελευταίο μέρος ... ]

Η εκδίκηση του Πυθαγόρα; [Μέρος 2ο]

Αγαπητό Ημερολόγιο,

νομίζω, έχουμε αφήσει μια κουβέντα στα μισά. Τουλάχιστον, ο ένας από τους δυο μας. Μιλώ, για 'κείνους τους αχαΐρευτους Πραγματικούς. Τους χτίσαμε ολάκερο σπίτι, μ' αρχιτέκτονα και decorateur, κι αυτοί μοιάζουν να συμπεριφέρονται σα νά 'μεναν ακόμα στην παράγκα του Καραγκιόζη. Ή μήπως δε φταίει τίποτα; Μήπως είμαστε απλά εμείς οι ιδιότροποι και τρωγόμαστε με τα ρούχα μας; Για πάμε, λοιπόν, μερικές απλωτές πέρα απ' τα κύματα της φλυαρίας μου, μήπως και φανεί καθαρότερα ο ορίζοντας, κατά πού βάλαμε ρότα.

Υπάρχουν δύο βασικά πράγματα, που «ενοχλούν» σε τούτη την ιστορία με τους Πραγματικούς. Το ένα είναι πως - αν εξαιρέσεις μια σχετική ιεραρχική δομή - ετούτο το μαγικό χαλί μας δε θυμίζει και πολύ αραβικό λεπτοδουλεμένο υφαντούργημα, μα περισσότερο χαριτωμένη κουρελού: ράψε μου ένα κλάσμα εδώ, μπάλωσε κι αυτή την δεκαδική τρύπα πιο πέρα, χώσε κάνα πλην κόντρα να δέσει, κόψε μου και τρία μέτρα ρίζα δύο, για φασόν. Οι αριθμοί φαίνονται να στερούνται εσωτερικής ενότητας και συνοχής. Αν μας έδινε κανείς μια κούτα με παράταιρα αντικείμενα κι εμείς τα χωρίζαμε με κάποιον κανόνα σε συρτάρια π.χ. εδώ τα κόκκινα, εκεί τα ξύλινα, όσα έχουν βίδες από κάτω, δε θα 'ταν και πολύ μακριά η παρομοίωση απ' την ορθή αναλογία. Αν ερχόταν κανείς να τα βάλει σε άλλη σειρά ή άλλη τάξη, κατά τις δικές του ανάγκες, θα μας φαινόταν το ίδιο λογικό και δε θ' αρθρώναμε την παραμικρή ένσταση. Κι έτσι η εντύπωση μιας διακριτικής αυθαιρεσίας φαίνεται να πλανάται διαρκώς, πάνω απ' την αυτοκρατορία των αριθμών μας.

Το άλλο ενοχλητικό στοιχείο έχει να κάνει με μια δεύτερη, φαινομενική, αυθαιρεσία: μοιάζει να «παράγουμε» αριθμούς απ' το πουθενά, από τη γκλάβα μας και με το έτσι θέλω, αναλόγως με τις ανάγκες και τα γινάτια μας. Τι; δε γίνεται ετούτη η αφαίρεση στους Φυσικούς; κανένα πρόβλημα! Εμείς θα την κάνουμε, παρ' όλα αυτά, κι ύστερα θα βαφτίσουμε το αποτέλεσμα «αρνητικό»! Ούτε γάτα, ούτε ζημιά, τα πλήθη θαυμάζουν. Τι είπες; Η διαίρεση δε γίνεται στους ακεραίους; Ε να φτιάξουμε τους ρητούς και να πούμε ότι γίνεται. Δεν τρέχει κάστανο! Πως; Η ρίζα δύο δεν είναι ρητή; Νο προμπλέμο, σενιόρ Ορτέγκα (άσχετο)! Τσιγαρίζουμε 250 γραμμάρια ρητούς και 3 φλιτζάνια στερητικά άλφα. Στη συνέχεια σιγοβράζουμε, άλλοτε ανακατεύοντας ριζικά κι άλλοτε απαλά, με στρογγυλή κουτάλα. Κι αυτό πάλι; Δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα του -1; Δόξα να 'χει ο Γιαραμπής κι ο σουρεαλισμός, άμπρα-κατάμπρα, τώρα ορίζεται!

* * *   * * *   * * *

Το πρώτο στοιχείο, νομίζω, δεν είναι παρά η αναπόφευκτη συνέπεια μιας αντίληψης, η οποία εξελίχθηκε ιστορικά, μέσα στα σπλάχνα των πολιτισμών, με τα ζιγκ-ζαγκ και τα πισωγυρίσματά τους. Η τριβή των ανθρώπων με τις ποσότητες και τις σχέσεις τους δεν στοιχειοθετήθηκε άπαξ, ως μία ολοκληρωμένη και ομοιογενής δομή. Έτσι, χωρίς να πλατειάσουμε σε τίποτε ιστορικές αναπολήσεις, στο κατόπι των Φυσικών ακολούθησαν μάλλον πλησιέστερα στις ανθρώπινες ανάγκες, οι Ρητοί (ως λόγοι Φυσικών, καθότι το σύγχρονο δεκαδικό σύστημα έπρεπε να περιμένει μερικούς αιώνες ακόμα) κι όχι οι Αρνητικοί Ακέραιοι, όπως επιβάλλει η συγκαιρινή μας συνολοθεώρηση. Τώρα, καθώς παράλληλα σκάλισα λίγο το Γούγλιον, υπάρχουν κάποια πρώτα στοιχεία αρνητικού λογισμού ήδη απ' το 200 π.Χ. Αλλά, ακόμα κι έτσι, πολύ αργότερα των κλασματικών στοιχείων. Το μηδέν είχε πολύ δρόμο, ακόμα, μέχρι τα πρώτα δείγματα λογικής και συμβολικής αφαίρεσης μάλλον, παρά ως απλή μνεία κενής θέσης ή έλλειψης. Σήμερα, άμα δε γράφουμε ℕ*, το περιλαμβάνουμε κατά βούληση ακόμα και στους Φυσικούς, παρά το γεγονός ότι δεν ήρθε και πολύ... φυσικά, στις χαρακιές οστών των πρώτων αργόσχολων Sapiens. Μα κι οι Άρρητοι, ως γνωστόν, κατέφτασαν με πάταγο μάλλον νωρίτερα απ' όσους Αρνητικούς ψιθύρους, αφουγκράζονται οι Ιστορικοί των Μαθηματικών, στα Ινδικά και σε άλλα κατάστιχα. Προς το παρόν βαριέμαι να προχωρήσω σε μεγάλο βάθος, τούτη την παράλληλη διερεύνηση, που απαιτείται. Αν απέχω πολύ ή λίγο από την αλήθεια, ας με συνετίσει ο πρώτος φρόνιμος σχολιαστής. Τα άβολα, λοιπόν, αριθμητικά συστήματα, οι διαφορετικές ανάγκες, οι αυθαίρετοι συμβολισμοί του κάθε ερευνητή, τα ιστορικά πισωπατήματα και οι παρακμή των πολιτισμών κι άλλες δεκάδες παράμετροι που αμελώ ή αγνοώ, συγκρότησαν ένα πολυποίκιλτο υφαντό, θαυμαστό και συνάμα ασυνάρτητο, με τον τρόπο του. Αλλά ακόμα και σήμερα, που έχουν τεθεί βάσεις αξιωματικές κι ο φορμαλισμός έχει παγκοσμιοποιηθεί - πολύ πριν ανακαλύψουν τον όρο οι πολιτικοί - το δεύτερο απ' τα δύο ξινά στοιχεία εξακολουθεί να στοιχειώνει τον ακατέργαστο νου της δευτεροβάθμιας ή τον απόφοιτο, που ξεχρέωσε το πτυχίο στο τσίμα-τσίμα. Ημερολόγιο, πού πάει ο νους σου;

* * *   * * *   * * *

Ενώ, λοιπόν, φέρουμε τους Φυσικούς εικονογραφημένους, σχεδόν σαν τατουάζ, στις άκρες των δακτύλων μας κι ο εγκέφαλός μας, λες, μοιάζει γονιδιακά καλωδιωμένος να τους υιοθετήσει, οι Αρνητικοί και το Μηδέν είχαν, όπως είπαμε, δυσκολότερο τοκετό. Άσε τους Άρρητους και τους Μιγαδικούς, που χρειάζονταν καισαρική. Απαιτήθηκαν ένα σωρό «κατόπιν ωρίμου σκέψεως» και νοητικές υπερβάσεις επί των αοράτων κι επί αιώνες, παρά η αυθόρμητη κι αθώα ένα προς ένα αντιστοίχηση των ορατών. Στην Ευρώπη του Διαφωτισμού κι έπειτα, πολλά από τα σημερινά αυτονόητα άγγιζαν τα όρια της δυσκοιλιότητας. Λέει για παράδειγμα η ιστορία πως, κατά 18ο αιώνα μεριά, κυκλοφορούσε μεταξύ των Βρετανών κι ένας ξινομούρης Μαθηματικός, ο Francis Maseres, μαζί με το φιλαράκι του, κάποιον William Friend. Ετούτοι οι δύο - και ποιος ξέρει πόσοι άλλοι γεροντοκόροι - δεν τους πολυγουστάρανε τούτους τους αριθμούς του Σατανά, τους Αρνητικούς. Έγραφε, λοιπόν, ο Maseres για τουτουνούς, πως «συσκοτίζουν κι αυτά τα ίδια τα αξιωματικά θεμέλια των εξισώσεων και θολώνουν πράγματα, τα οποία είναι από τη φύση τους καθαρά και ξάστερα» (Η μετάφραση είναι ελεύθερη, δική μου). Δεν ξέρω αν η γυναίκα του τον άντεχε, ετούτον τον ξινόγαλο Maseres, οι Αρνητικοί ωστόσο δεν τον άντεχαν καθόλου και γι' αυτό τον απέλυσαν, προτού προλάβει να τους απολύσει εκείνος. Είναι σήμερα ολοφανερό ποιος κέρδισε, τελικά.

Έτσι το 'θελαν λοιπόν οι ιστορικές επιταγές: η τριβή με την πραγματικότητα, ως ένα σημείο, και η τριβή με τις ιδέες καθαυτές, απ' το σημείο αυτό και πέρα, ανάγκαζε τους ανθρώπους να παραδέχονται τα αδιέξοδα μιας πρώτης αριθμητικής αντίληψης, να τα συνοψίζουν με την οικονομία της μαθηματικής γραμματικής κι εν συνεχεία να προσπαθούν να τα υπερβούν. Η συλλογιστική αυτή, ειδωμένη ιστορικά, φαίνεται απολύτως λογική. Αν διαβάσει όμως κανείς μια σύνοψη της δομής των πραγματικών, είναι πιθανό να θεωρήσει - λαθεμένα - ότι, κάθε φορά που οι Μαθηματικοί συναντούσαν ένα πρόβλημα, εφεύρισκαν ό,τι αριθμούς τους συνέφερε, ώστε να άρουν τ' αδιέξοδα, κι η διαδικασία αυτή θα μπορούσε να συνεχιστεί στο άπειρο, αν ισάριθμα αδιέξοδα καιροφυλακτούσαν στη μαθηματική οδό. Σα να 'ταν οι αριθμοί αθύρματα κι έρμαια των αναγκών, παρά γεννήματα μιας εσωτερικής συνέπειας και συνοχής. Κι ίσως την ίδια εντύπωση να είχαν τύποι σαν τον Maseres κι ίσως ακόμα κι εκείνος ο Cardano, όταν στα παλέματά του με τις εξισώσεις έβλεπε «φανταστικούς» αριθμούς να ξεπροβάλουν, να κάνουν τη δουλειά τους και στο τέλος να εξαφανίζονται, αφήνοντας πραγματικότατο πεσκέσι.

Από τις πρώτες, όμως, σελίδες του Louis Brand, Ημερολόγιο, συνειδητοποιώ ότι η «σύγχρονη» αξιωματική θεμελίωση των Πραγματικών δεν έχει ανάγκη από νέους αριθμούς. Άμα ζούσε ο Πυθαγόρας, σήμερα, θα χαμογελούσε κάτω απ' τα μουστάκια του. Με μερικές συλλήψεις εξαιρετικά λιτές, διαυγείς και κοφτερές, τα πάντα ανάγονται τελικά σε σχέσεις Φυσικών. Από το ένα σύνολο στο άλλο κι ανεβαίνοντας την ιεραρχία που χτίσαμε νωρίτερα, σαρώνουμε το οικοδόμημα των Πραγματικών από κάθε υπόνοια ad hoc αυθαιρεσίας. Τέρμα στα πλην και τα συν των λάγκελς του Γουάιντμαν (όπως μας λέει κάπου ο Ντενί Γκετζ) ή τα σωσίβια αναγκαιότητας στις τριτοβάθμιες εξισώσεις του Cardano. Ο παππούς Πυθαγόρας θα έσφαζε όχι μια εκατόμβη, απ' τη χαρά του, μα δε θ' άφηνε μοσχάρι για μοσχάρι ζωντανό, σε Σικελία και Κάτω Ιταλία.

Monday, December 4, 2017

Η εκδίκηση του Πυθαγόρα; [Μέρος 1ο]

Αγαπητό μου Ημερολόγιο,

μου βγήκε η ψυχή με τούτες τις Τομές Dedekind, κι όμως - για κάποιο μυστηριώδη λόγο - αντιστάθηκα πεισματικά στην παραδοχή της παντελούς ηλιθιότητας. Κατά βάθος, μπορεί και να 'χω πειστεί. Ωστόσο, πάνω στα ψυχορραγήματα κάποιας στοιχειώδους αξιοπρέπειας, επιμένω να διατηρώ στερνές επιφυλάξεις. Μη φανταστείς τίποτα ελπίδες λανθάνουσας ευφυίας, αλλά ότι, να, δηλαδή, ο γράφων πρόκειται μόνο περί απλού ηλιθίου και όχι από τους άλλους, τους σούπερ, με τα υψηλά οκτάνια και την περικεφαλαία.

Θυμάσαι, τώρα, εκείνο το βιβλίο του Louis Brand, από τα παλιά; Ναι μπράβο! Καλά θυμάσαι. Εκείνο που μας μοιράζαν τότε, όταν ακόμα χρωστούσαμε διψήφιους αριθμούς μαθημάτων. Τότε, που στα κεφάλια μας η βούρτσα έβρισκε ακόμα αντίσταση κι ο έρωτας ήταν γυμνωμένο στήθος κι άβυσσος υποσχέσεων, παρά διδακτορικό φιλοσοφίας και χρυσομπαλωμένη πανοπλία. Θα θυμάσαι, φαντάζομαι, πως το ξανάπιασα πέρσι, βάζοντας σκοπό να το κατεβάσω μονορούφι. Το μόνο που κατάφερα τελικά - όντας φλωράκος και αμαθής - ήταν να ζαλιστώ απ' την ξαφνική μαθηματική καθαρότητα και να παραπατώ, από τις πρώτες κιόλας σελίδες. Παρα-συνηθίσαμε, μου φαίνεται, στα σχολικά βιβλία και στην υπερ-απλούστευση των βοηθημάτων κι ο εγκέφαλος αποκοιμήθηκε, σε κάποιο πεζοδρόμιο της πεπατημένης. Κι όμως, λίγο πριν εμέσσω κάθε μαθηματική αξιοπρέπεια από τα σωθικά μου, κατέφτασε από μηχανής θεά μια κάποια γλυκόπικρη αναλαμπή, ένα αμήχανο μεθύσι, όταν ξάφνου συνειδητοποίησα τη θαυμάσια ευφυή απλότητα (;), της αξιωματικής θεμελίωσης των Πραγματικών. Κάτσε να σου τα μιλήσω λίγο, να τα βάλω κι εγώ σε κάποια τάξη.

Πάμε πάλι, απ' την αρχή.

Αγαπητό μου Ημερολόγιο,

σήμερα θα σου μιλήσω για τους Πραγματικούς αριθμούς - μεγάλη η χάρη τους! Όταν μιλάς για τούτους στα παιδιά του Γυμνασίου, συνήθως τονίζεις την ιεαρχική δομή των διαδοχικών συνόλων, από τους Φυσικούς μέχρι τέρμα τα πι και ρίζα δύο, με την ελπίδα του ευκολομνημόνευτου. Ξέρεις, μήπως κάτι σκαλώσει στο πίσω μέρος του κρανίου και δεν αποβληθεί με το πρώτο λάλημα του κώδωνος, πακέτο κι αχταρμάς, μαζί με κάθε άλλη σαβούρα παλεύουν να παστώσουν οι ενήλικοι στους εφηβικούς εγκεφάλους. Ναι, ναι, σαβούρα και μην ξυνίζεις, καλό μου Ημερολόγιο, με τις ηθικές και τα καθωσπρέπει. Και το καθαρότερο μάλαμα, άμα στο φορτώνουν με το στανιό και με το βούρδουλα, σαβούρα γίνεται. Άμα σου παραχώσουνε στη μύτη αμβροσία, θα την ξεράσεις μαζί με τις μπάμιες που έφαγες το μεσημέρι.

Τώρα, μη φανταστείς πως κι η ιδία αντίληψη, περί Πραγματικών, διέφερε ριζοσπαστικά απ' την απλοϊκότητα της παράδοσης. Πιάνεις, το λοιπόν, τους Φυσικούς, και τους αραδιάζεις απλόχερα στα προτεταμένα σου δάχτυλα: και ένα, και δύο, και τρία, και τα λοιπά. Τα παιδιά το πιάνουν ως υπονοούμενο αντεστραμμένης μούτζας. Άλλα χασκογελούν, άλλα χασμουριούνται. Λες κάτι για γίδια, κάτι για πρόβατα, τρία είναι καλά, αλλά τριάμιση δε θα βρεις στη Φύση - κάτι που είναι ψέμα, καθώς μεγαλωμένοι ως βέροι αστοί δεν έχουμε δει ποτέ σε στροφή της Πανεπιστημίου μισοφαγωμένο κατσίκι, θέαμα απολύτως φυσικό, άμα το χωριό σου περιτριγυρίζεται από πεινασμένους λύκους. Κι όχι μόνο μισό, αλλά και 1/4 και 3/29 και όποια κλασματική απόσταξη κατσικίσιας σάρκας επιθυμείς. Αλλά φυσικό για τον άνθρωπο είναι, βεβαίως, εκείνο που στέκει ακέραιο, με τρόπο που να 'χει αξία για τον άνθρωπο κι όχι ντε και καλά για τη Φύση. Ν' ανταλλάξεις μισό κατσίκι, όσο να 'ναι κι αν δεν είσαι χασάπης, δεν είναι κι ό,τι πιο εύλογο. Πάντως, για να λέμε και την αλήθεια, μισό κατσίκι δεν είναι και τίποτα πράμα λειτουργικό: δε βελάζει, δε πηδάει στα βραχάκια, δεν τρώει, ούτε χέζει, δε λύνει δευτεροβάθμιες εξισώσεις, γενικά δεν κάνει και πολλά πράγματα. Κι έτσι, στην τελική, απ' τη στάνη σου θα μετράς πλην ένα κατσίκι.

Να λοιπόν που αρκεί ένας χορτάτος λύκος, ώστε να περάσεις γλυκά-γλυκά στους Ακεραίους. Μιλάς γι' απώλειες, για χρέη, για πολικές θερμοκρασίες και για την αιώνια διαμάχη του ζερβού με το δεξί. Κανένα πρόβλημα. Άμα δεν πιάσεις τους φορμαλισμούς με τους κανόνες των πράξεων, τα ομόσημα και τα ετερόσημα βραχυκυκλώματα, τα παιδιά τα χωνεύουν και τα καταλαβαίνουν μια χαρά, όλα ετούτα. Κι έτσι, η «αναγκαιότητα» των Αρνητικών έρχεται και κάθεται μια χαρά, το ίδιο φυσικά, όπως και η «αναγκαιότητα» των Θετικών. Τα βάνεις, λοιπόν, όλα μαζί σ' ένα τσουβάλι, γράφεις κι ένα μεγάλο ℤ, περάστε, σκουπίστε, τελειώσατε.

Μα ούτε και το επόμενο βήμα, φαντάζει εξωπραγματικό, ένεκα που το 'χουν προετοιμάσει οι συνάδερφοί μας οι δασκάλοι (εννοώ και οι δασκάλες), θυσιάζοντας τα δικά τους νεύρα, νωρίτερα από μας, στο βωμό της μαζικής εκπαίδευσης. Τα περισσότερα παιδιά είναι ήδη εξοικειωμένα με την έννοια των κλασμάτων, δόξα να 'χει κι ο εφευρέτης της πρώτης πίτσας. Γνωρίζουν ακόμα-ακόμα κι εκείνους τους ξινούς δεκαδικούς, με την προϋπόθεση ωστόσο να μην τα χρεώσεις τίποτε πράξεις και χάσουν τ' αυγά και τα πασχάλια με τα βοηθητικά μηδενικά. Οπότε, με αυτά κατά νου, η πιο σημαντική ενέργεια, στη φάση ετούτη, είναι να καταδείξει κανείς την αντιστοιχία μεταξύ κλασμάτων και πεπερασμένων ή περιοδικών δεκαδικών και να κλείσει, γλυκά κι αθόρυβα, ετούτο το κεφάλαιο. Άμα τα βλέμματα, τριγύρω, δεν είναι χαμένα στην υπερκόπωση της ανίας και στα προσωπικά, μπορείς ν' ανοίξεις όμορφες συζητήσεις γύρω απ' τη σημασία της λέξης «ρητός» ή «άρρητος» ή να ξεδιπλώσεις εκείνη τη χαριτωμένη αλγεβρική απόδειξη, με την οποία - σχεδόν μαγικά - επιτυγχάνεται η μετατροπή ενός περιοδικού σε λόγο φυσικών. Αν δεν πέσεις, δηλαδή, σε τυχόντα συνάδερφο ρομπότ, ο οποίος επιμένει σ' εκείνα τα σατανιστικά τρικ, όπου πέρνεις την περίοδο και φτιάνεις κλάσματα, μηχανικά, με τόσα εννιάρια εδώ, τόσα ψηφία εκεί, κόλπα δηλαδή στα οποία μπορείς να εκπαιδεύσεις ακόμα κι ένα χιμπαντζή και δεν έχουν την παραμικρή σχέση με τη μαθηματική διαδικασία και ανακάλυψη.

Έχουμε πια φτάσει, στο τελευταίο κατώφλι των Αρρήτων, όπου ο τυπικός μαθηματικός-παύλα-καθηγητής μπορεί να πιάσει να μιλά για ώρες, δίχως να υποψιαστεί ότι οι ακροατές του έχουν αυτοκτονήσει, κάπου στα μισά της διάλεξης. Εδώ, τούτος ο μέσος καθηγητής, νιώθει όχι μόνο πιο οικεία, καθώς πλησιάζει σιμά σε πιο σύγχρονά του μαθηματικά χωράφια, αλλά νιώθει κι ένα ιστορικό χρέος: πώς να μιλήσει κανείς για τους Άρρητους, δίχως να κάνει μνεία για τούτη την πρώτη επανάσταση της νόησης, που ξεκινά απ' την απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος και διαμέσου της λατρείας των Φυσικών-Σύμμετρων καταλήγει στο θρίαμβο της Λογικής επί της Πίστης! Πώς να προχωρήσεις, δίχως μια ελάχιστη ανάσα δέους - όχι για τον υπερφίαλο Πυθαγόρα και το μυστικιστικό του καλάμι, παντελώς ξένο με την Ιωνική διαύγεια και ειλικρίνεια - αλλά για το πέρασμα του ανθρώπινου πολιτισμού από το χιμπαντζή και τον ουρακοτάγκο στον αληθινό Άνθρωπο! Και πώς να μη στοχαστείς πάνω στην τραγικότητα μιας κοσμοθεωρίας, που στέκεται ξαφνικά να κοιτά κατάματα την άβυσσο και τον ίδιο το χαμό της; Η λιτότητα της Ευκλείδειας (?) απόδειξης, για τη μη ρητότητα της τετραγωνική ρίζας του δύο, δανείζεται κάτι απ' το ματοβαμμένο θάμπος ενός δωρικού ξίφους. Χαμογελούμε, θαρρώ, διηγούμενοι με μια εσάνς ανεκδότου τον - φημολογούμενο - άδικο χαμό του Ίππασου του Μεταποντίνου, μ' ασυνείδητα μένουμε αμήχανοι, μπροστά σε τούτη τη μικρή τραγωδία. Οι φιλοσοφίες θαρρώ - κι ίσως να κάνω λάθος - σπάνια πεθαίνουν ή ανατρέπονται εν μία νυκτί, παρά σβήνουν κάποτε περιθωριακά και αθόρυβα, μαζί με τις κοινωνίες που τις γέννησαν και τους στερνούς οπαδούς τους. Κι όμως οι Πυθαγόρειοι ένιωσαν το μαχαίρι του φονιά και του θανάτου, όχι στο κατόπι της δόξας τους, μα ακριβώς εξαιτίας της, ακριβώς εξαιτίας της πνευματικής ισχύος που είχαν κατακτήσει. Το θεριό που ξαμόλυσαν μέσα στους νόες, να κυκλοφορεί λέφτερο κι ακόρεστο - γι' άλλους το ήθος της τεκμηρίωσης και γι' άλλους η επανάσταση των αρρήτων - τους ξεπερνούσε, όσο η πυρηνική ενέργεια ξεπερνά τον Τρικεράτοπα. Δεν είχαν καμία ελπίδα! Ή μήπως όχι;

Όλα ετούτα συγκινούν πολύ το μέσο  μαθηματικό νου και του αρέσει πολύ να τ' αναστοχάζεται και να τα παραθέτει στους συνομιλητές του, με τον ίδιο ζήλο που ένα παιδί μιλά για τα παιχνίδια του. Στην τάξη, παρ' όλα αυτά, άλλοτε η πίεση του χρόνου κι άλλοτε η έλλειψη ανατροφοδότησης απ' τα θρανία περιορίζει το ζήλο στο ελάχιστο. Μια αναφορά στις άρρητες ρίζες, στο πι και φι, ως απειρομήκεις δεκαδικούς δίχως επαναλήψεις, κι ούτε κουβέντα να γίνεται περί διάκρισης αλγεβρικών και υπερβατικών. Πρέπει να λύσουμε και καμιά άσκηση!

Ημερολόγιο, στο σημείο αυτό, συμμαζεύω την πολυλογία μου με σκοπό να κλείσω, ετούτο το πρώτο μέρος. Ξεκινούμε λοιπόν μ' ένα τσουβάλι γεμάτο Φυσικούς: 1, 2, 3, ... , ένα-δυο σχόλια για τη διακριτική δύναμη του μηδενός, τα στραβώματα των μονών με τους ζυγούς και μια υπόκλιση στη δομική παντοκρατορία των Πρώτων αριθμών. Στο κατόπι, ζωγραφίζουμε ένα "μείον", μπροστά απ' τους Φυσικούς, τους βαφτίζουμε «Αρνητικούς Ακεραίους» και τους πετάμε κι αυτούς μες στο τσουβάλι. Συνεχίζουμε με τους Ρητούς, όλους δηλαδή τους αριθμούς που έχουν τη δυνατότητα να γραφτούν ως λόγος δύο ακεραίων, τονίζοντας τη συμμετρία τους ως προς τους πεπερασμένους και τους περιοδικούς δεκαδικούς. Τέλος, last but no least, που λέγαν κι οι Αρχαίοι, πετούμε μέσα όλη την αναρίθμητη απειρία των Αρρήτων, με τις ρίζες, τους υπερβατικούς και δε συμμαζεύεται. Το τσουβάλι μας κοντεύει να σκάσει. Με κάποιο ζόρι, καταφέρνουμε να φτιάξουμε κόμπο καλό κι απάνω, με μεγάλα γράμματα: «Πραγματικοί Αριθμοί». Χάριν απλότητας και συντομίας, παραλείπω εδώ οποιαδήποτε αναφορά σε άξονες και τα σχετικά κι ας γκρινιάζουν, όσο θέλουν οι Dedekind και Cantor.

Σε βλέπω όμως κι εσένα να στραβώνεις τα μούτρα, καλό μου Ημερολόγιο, με τούτο το... τσουβάλιασμα. Στην προσπάθεια να θυμίζουν τα σακιά μου σύνολα, έχασαν κάτι απ' την ιεραρχικότητά τους. Έχεις δίκιο, όμως ας είναι. Όταν απλουστεύεις και συχνά υπερ-απλουστεύεις, είναι σαν το σεντόνι του Χαλεπά: δε μπορείς να σκεπάσεις τα πάντα. Συχνά, στην τάξη δε συμπεριφέρεσαι ως πραγματικός Μαθηματικός, αλλά ως διεκπεραιωτής της σχολικής ύλης. Τα υπόλοιπα τ' ακούω βερεσέ, απ' τους ακάλεστους στη χοροεσπερίδα. Παρ' όλα αυτά, τα πράματα δεν είναι τόσο τραγικά, όσο ακούγονται, καθότι όλα τα προηγούμενα συνοδεύονται συνήθως απ' τα κατάλληλα μπαλονάκια του Venn - κάτι σαν το βόα του Saint-Exupery, που πάλευε να χωνέψει έναν ελέφαντα. Στο κάτω-κάτω, τα περισσότερα παιδιά δε θα θυμούνται παρά μόνο ένα καπέλο, έτσι όπως τα 'χουν φτιάξει οι κηδεμόνες σαν τα μούτρα τους. Στην τελική, δεν προσβάλλεται ιδιαίτερα η σουρεαλιστική εγκυρότητα, της εφηρμοσμένης διδακτικής.

Άιντε λοιπόν να δούμε, πού ακριβώς στεκόμαστε τώρα. Τα σκεφτήκαμε όλα, έτσι φαίνεται. Δεν υπάρχει αριθμός, που να 'μεινε παραπονεμένος κι ο καθένας βρήκε θέση κι ένα κονάκι, να κονέψει τη φαμίλια του. Κι όμως, παρά τα λεπτοδουλεμένα μας κόσκινα, παρά το γεγονός πως κάναμε καλό παζάρι, παρ' ότι καταφέραμε να συμμαζέψουμε στο τσουβάλι μας όλα τα δυνατά νούμερα, στα χείλη μας δε λέει να σκάσει σωστό χαμόγελο. Ο νους θα 'πρεπε να κοιμάται ήσυχος κι όμως, ένα απροσδιόριστο μυρμήγκιασμα, ένα διακριτικό φάλτσο στη συμφωνία των αριθμών, τον κρατά ξύπνιο κι ανήσυχο. Τις πταίει; Δεν έχεις ιδέα. Κάτι ξεχάσαμε ή μήπως κάτι δε βάλαμε στη σωστή του θέση; Δε μιλώ για τους μιγαδικούς, δε θα μιλήσουμε γι' αυτούς. Μιλώ για κάτι βαθύτερο, κάτι δομικότερο στο οικοδόμημα των Πραγματικών που φτιάξαμε.

Όμως, Ημερολόγιο, πήγε αργά κι ώρα να κλείσω. Μέρα και η επαύριο - για η επομένη της - και τα λέμε. Καλό σου βράδυ.

Wednesday, July 12, 2017

« Είμαι ο Kurt Goedel και δεν αποδεικνύομαι ... »

Αγαπητό Ημερολόγιο,

σήμερα, θα φιλοξενήσω ένα άρθρο, από εκείνα που ξεχωρίζω απ' το σωρό. Αν ήταν της φίλης Κατερίνας, θα 'πρεπε ν' αντιγράφω κάθε τρεις και λίγο, αλλά ετούτον εδώ το Λάκωνα, δεν τον γνωρίζω κι ούτε βρήκα κανέναν προσωπικό του ή άλλο σύνδεσμο, πέραν μονάχα αυτού εδώ. Το κείμενο είναι όπως ακριβώς θα 'πρεπε (δηλαδή, όπως εγώ θεωρώ ότι θα 'πρεπε) : περιεκτικό, δομημένο, εύστοχο, σπιρτόζικο και σεμνό. Φοβερό πακέτο, έχεις αντίρρηση;

Το αντιγράφω, όχι μόνο γιατί δεν έχω εμπιστοσύνη στα links, που σήμερα είναι κι αύριο δεν είναι (θυμάσαι το "Theorein", εκείνο το αδικοχαμένο blog;), αλλά και για ένα λόγο επιπλέον: το ζηλεύω, με την καλή έννοια. Θα 'θελα να το 'χα γράψει εγώ, να 'ταν γέννημα της δικής μου διάνοιας. Για να 'μαι ειλικρινής, σκόπευα ετούτη εδώ η ανάρτηση να 'ταν μια άλλη εκδοχή της ίδιας ιστορίας, μια διασκευή στα μέτρα μου. Όταν, όμως, ξανάπιασα στα χέρια μου το λιτό κείμενο του Λάκωνα, δε βρήκα να του λείπει ή να του περισσεύει το παραμικρό ∙ μικρό κι όμορφο υφαντό, μ' όλα τα του τα μοτίβα και τα κρόσια κατά πού πρέπει. Ενα σκανταλιάρικο, μαθηματικό σεμεδάκι - θα τολμούσα να πω - να στολίζει τα βιβλία και τις σημειώσεις μου. Μη θαρρείς πως με αυτόν τον τρόπο - και καλά - το απαξιώνω, σε ρόλο διακοσμητικό. Ξέρεις πόσο λατρεύω τα σεμεδάκια, γεννήματα κι αυτά της απέριττης, λαϊκής αισθητικής, η συμμετρία των οποίων μαρτυρεί μια γνήσια, μαθηματική αντίληψη και στους πλέον απλούς ανθρώπους.

Αλλά φτάνει, ημερολόγιο, με τη φλυαρία μου. Απόλαυσε, προς το παρόν, τα παρακάτω κι εμείς - ελπίζω σύντομα - τα ξαναλέμε.


« Είμαι ο Kurt Goedel και δεν αποδεικνύομαι ... »

Είμαστε στα 1930... Τρία χρόνια μετά την ανακοίνωση της Απροσδιοριστίας, η διεθνής Φυσική κοινότητα έχει για τα καλά εμπλακεί στον σημαντικότερο εμφύλιο της ιστορίας της επιστήμης... Αιτιοκρατία ή Κβαντομηχανική; Ο Θεός Αϊνστάιν είναι κατηγορηματικός: «Ο Θεός δεν παίζει ζάρια»... Αλλά ο Νηλς (Μπορ)απαντά: «Δε θα μας πεις εσύ Άλμπερτ τι παιχνίδι θα παίζει ο Θεός...» ... Όπως και να το κάνουμε, μια τέτοια απάντηση το ξανασκέφτεσαι αν θα την ξεστομίσεις... Δεν είσαι δα και ο Πάπας...

Όπως εύκολα κατανοεί κανείς, η Φυσική είναι αρκετά απασχολημένη αυτό τον καιρό για να αντιληφθεί τι συμβαίνει στο πεδίο των Μαθηματικών... Αυτόν τον καιρό δύο είναι τα κύρια θέματα συζήτησης... Η fractal σκέψεις μερικών μαθηματικών από την αρχή του αιώνα... και μια προσπάθεια τέλειας θεμελίωσης των μαθηματικών θεωριών.

Η πραγματικά καθολική προσπάθεια της, Ευρωπαϊκής κυρίως, Μαθηματικής κοινότητας να δημιουργήσει, ή καλύτερα να επαναπροσδιορίσει, της ήδη υπάρχουσες θεωρίες βάσει θεμελιωδών συνολοθεωριών οι οποίες θα εγγυούνταν την συνέπεια και πληρότητα των πρώτων.

Μια μαθηματική θεωρία είναι συνεπής όταν δεν περιέχει αντιφάσεις και πλήρης όταν όλες οι προτάσεις (συμπεριλαμβανομένων και των αντίθετων αυτών) που δηλώνονται μέσα στη θεωρία είναι αποδείξιμες.

Τρεις ήταν οι κυριότερες ομάδες επιστημόνων προς αυτόν τον σκοπό:
  • Η ομάδα των Γερμανών φορμαλιστών υπό τους Hilbert και Von Neumman,
  • η ομάδα των Βρετανών λογικιστών υπό τον Russel (μια μαθηματική διάνοια με βραβείο Νόμπελ λογοτεχνίας!) και τέλος
  • μια ομάδα που αποτελούνταν κυρίως από Ολλανδούς επιστήμονες γνωστή και ως ομάδα των «οραματιστών»...
Ο στόχος κοινός, η φιλοσοφία όμως διαφορετική!

Η σημαντικότερη ομάδα ήταν εκείνη του Hilbert. Ο Φορμαλισμός αποσκοπούσε στο να εγκαθιδρύσει συνέπεια και πληρότητα πάνω σε κάθε μαθηματική θεωρία, όχι μόνο για να θεμελιώσει σταθερά και λογικά την επιστήμη των μαθηματικών... Μια τέτοια θεώρηση των Μαθηματικών θα μας έδινε τη δυνατότητα να αποφασίσουμε αλγοριθμικά αν οποιαδήποτε δεδομένη πρόταση ανήκει σε μια θεωρία. Κάτι τέτοιο θα υποβάθμιζε τα Μαθηματικά σε μια μηχανική διαδικασία.

Την προσπάθεια αυτή των Ευρωπαίων έκανε κυριολεκτικά σμπαράλια μια εργασία που δημοσιεύθηκε το 1931 από τον αυστρο-ούγγρο Kurt Goedel. Αποτελούμενη από δύο θεωρήματα «Η Θεωρία της Μη Πληρότητας» συντάραξε (κατά παρόμοιο τρόπο όπως η Αρχή της Απροσδιοριστίας στη Φυσική) τη Μαθηματική κοινότητα...

Στο πρώτο του θεώρημα, ο Goedel αποδεικνύει πως κάθε συνεπής θεωρία που περιέχει τους φυσικούς αριθμούς είναι μη πλήρης, ενώ το δεύτερο για πολλά χρόνια πολύ καλός φίλος του Αϊνστάιν «τα κάνει ακόμα πιο μαντάρα» δείχνοντας πως τέτοιες θεωρίες (συνεπείς και μη πλήρεις) δεν μπορούν από μόνες τους να αποδείξουν πως είναι συνεπείς. Η συνέπεια μια μαθηματικής θεωρίας, δηλαδή, αποδεικνύεται αλλά όχι μέσα στην ίδια τη θεωρία αυτή αλλά σε μια ευρύτερή της. Το καταστροφικό συμπέρασμα είναι πως η απόδειξη της συνέπειας κάθε «ευρύτερης θεωρίας» θα απαιτεί πάντα μια ακόμη μεγαλύτερη που να την περιέχει οδηγώντας μας σε μια άπειρη ακολουθία θεωριών που δεν οδηγεί πουθενά...

Το πραγματικά απίστευτο σ’ αυτήν την θεωρία της μη πληρότητας είναι η γενική σκέψη πάνω στην οποίο στηρίζεται και αποδεικνύεται...

Ο Goedel χρησιμοποίησε ένα ιδιοφυές αριθμητικό σύστημα για να μεταφράσει προτάσεις μιας μαθηματικής θεωρίας (έστω Τ) σε αριθμητικές δηλώσεις μέσα στην Τ. Έπειτα κάνοντας χρήση πολλών και πολύπλοκων λογικών σκέψεων για να καταλήξει στο ότι μια θεωρία δε θα μπορούσε να αποδειχθεί ότι είναι πλήρης ή συνεπής. Ο φίλος μας κινήθηκε χοντρικά ως εξής:

Έστω Τ μια μαθηματική θεωρία και S μια αριθμητική πρόταση της Τ που σημαίνει :

«εγώ δεν αποδεικνύομαι στην Τ»!

Αν S αποδείξιμη στο Τ --> S ψευδής και --> Τ ασυνεπής.
Άρα S μη αποδείξιμη (και άρα αληθής).

Αφού S αληθής τότε η οχιS==(εγώ αποδεικνύομαι στην Τ) πρέπει να είναι μη αποδείξιμη (και άρα ψευδής). Συνεπώς : S και οχιS μη αποδείξιμες --> Τ μη πλήρης.

Αν τέλος προσπαθήσουμε να αποδείξουμε τη συνέπεια της Τ θα αποδείξουμε την S, πράγμα αδύνατο.

Το αξιοσημείωτο είναι πως το θεώρημα της Μη Πληρότητας ισχύει σε κάθε μαθηματικό σύστημα, ακόμη και σ’ αυτό της αριθμητικής, δίνοντας μια νέα φιλοσοφική διάσταση σύμφωνα με την οποία τα Μαθηματικά δεν είναι σε θέση να υπολογίσουν (ή να αποδείξουν) το οτιδήποτε... Είναι σίγουρα μια απογοήτευση...

editor: CsLaKoNaS
copyright 2003

Sunday, June 25, 2017

Η Αναζήτηση του Αβερρόη

Αγαπητό μου Ημερολόγιο,

συνεχίζοντας ακάθεκτος την ανάγνωση του Μπόρχες, δίχως να πτοούμαι από την προσωπική ανεπάρκεια, χανόμουν όλο και βαθύτερα στην ανεξάντλητη φαντασία του, όμοια σα να βυθιζόμουν σε κάποιον απ' τους αμείλικτους λαβύρινθους που τόσο αγαπούσε. Μ' αυτά και μ' εκείνα, έφτασα κάποτε και στο παρακάτω απόσπασμα (Άπαντα Τα Πεζά Ι, Εκδ. Πατάκη, σελ. 383) :
«
Ύστερα από κάποιον δισταγμό, ο Αμπουλκάσιμ μίλησε.

" Όποιος διατρέχει κλίματα και πολιτείες " αποφάνθηκε με στόμφο " βλέπει πολλά αξιόπιστα πράγματα. Να, όπως αυτό, για παράδειγμα, που το 'χω αφηγηθεί μονάχα μια φορά, στον βασιλιά των Τούρκων. Συνέβη στο Σιν Καλάν [Καντόνα], εκεί όπου ο ποταμός του Νερού της Ζωής χύνεται στη θάλασσα ".

Ο Φαράχ τον ρώτησε αν αυτή η πολιτεία ήταν πολύ μακριά από το τείχος που είχε ορθώσει ο Ισκάνταρ Ζουλ Καρναΐν [ο Αλέξανδρος ο Δίκερως ο Μακεδών] για να αναχαιτίσει τους Γωγ και Μαγώγ.

" Έρημοι είν' ανάμεσά τους " είπε ο Αμπουλκάσιμ, με απροσποίητη ακαταδεξία. " Σαράντα μέρες θα 'κανε μια κάφιλα [καραβάνι] μέχρι να δει τους πύργους στον ορίζοντα, κι άλλες τόσες, καθώς λένε, για να φτάσει. Στο Σιν Καλάν, δεν άκουσα να γίνεται λόγος για κανέναν που να τα 'χει δει ή να 'χει δει κάποιον που να τα 'χει δει "

»
Έπιασα τώρα να σκέφτομαι πως γίνεται κάποιος να βλέπει πύργους στον ορίζοντα, όντας ακόμα στα μισά της διαδρομής; Δεδομένης μάλιστα της γήινης καμπυλότητας, το ύψος τους θα έπρεπε να ξεπερνάει κάθε φαντασία, συν πλην μερικά χιλιόμετρα. Τα έβαλα κάτω, έπιασα και το απροσμέτρητο Γούγλιον παραμάσχαλα, τρεις το λάδι, τρεις το ξύδι, συμμάζεψα τα παρακάτω...

- α -

Καταρχάς, τι σημαίνει ορίζοντας για ένα πεζοπόρο; Ο παλιόφιλος Phil Plait του Bad Astronomy αναρωτήθηκε κάποτε το ίδιο. Έπιασε κι έκανε, λοιπόν, εδώ όλους τους απαραίτητους υπολογισμούς, γλιτώνοντας εμάς τους υπόλοιπους από αντίστοιχους κόπους. Μεταφέρω εδώ τον τελικό του πίνακα.


Για να στρογγυλέψουμε κάπως τα συμπεράσματα, ας υποθέσουμε ότι ο παρατηρητής μας βρίσκεται πάνω στη ράχη μιας καμήλας κι ακόμη καλύτερα κι οι δύο μαζί βρίσκονται στην κορυφή ενός σεβαστού αμμόλοφου. Ας τα συμπυκνώσουμε όλα ετούτα, ας πούμε στα 8 μέτρα, για προφανείς λόγους, όπως φαίνεται κι από τον πίνακα, οπότε στην περίπτωσή μας η οριζόντια ορατότητα μόλις που ξεπερνά τα 10 χιλιόμετρα. Ωραίο, στρογγυλό δεκαράκι.

- β -

Στη συνέχεια, ημερολόγιό μου, ασχολήθηκα με το θέμα της ταχύτητας. Πόσο γρήγορα κινούνταν τα καραβάνια, την εποχή εκείνη; Τι να λέμε τώρα, οι παράμετροι είναι πολλές: ο αριθμός των μελών, το είδος του εδάφους, η διαθέσεις του καιρού, όρεξη να 'χεις να απαριθμείς αντιξοότητες σε μια εποχή, που όλος ο κόσμος έμοιαζε μια γκρίζα ζώνη (πόσο έχει αλλάξει, άραγε, από τότε;).

Παρένθεση. Διαβάζω κάπου, πως ένα καραβάνι δε μπορεί να κινείται ταχύτερα απ' το βραδύτερο μέλος του. Τι όμοφη αλληγορία για μια κοινωνία, έτσι δεν είναι; Αν θέλει, φυσικά, ν' αξίζει τ' όνομά της. Κλείνει η παρένθεση.

Ανακλώμενος από τη μια ιστοσελίδα στην άλλη άρχισα να κατασταλλάζω σε κάποια νούμερα. Μια παραπομπή στην Wikipedia αναφέρει κάτι μεταξύ 16 και 40 χιλιομέτρων. Κάπου αλλού διαβάζω ότι ότι ο λεγόμενος "Δρόμος του Μεταξιού" - δεν ήταν στην πραγματικότητα ένας δρόμος αλλά ένα σύμπλεγμα δρόμων, ένας αχανής λαβύρινθος δηλαδή - είχε μήκος 7000 μιλίων κι ένα καραβάνι χρειαζόταν περίπου 2 χρόνια πορείας, αλερετούρ. Σκύβω στο κομπιουτεράκι κι εκείνο μου ψυθιρίζει 9.6 μίλια τη μέρα, όπερ σημαίνει 15 κόμμα κάτι χιλιόμετρα. Συνεπέστατο. Όχι το κομπιουτεράκι, το καραβάνι.

Απ' όλες αυτές τις σκέψεις, κρατώ ένα στρογγυλό 20, που στέκει με δικαιοσύνη τόσο απέναντι στις άεργες μέρες μιας αδήριτης λαίλαπας, όσο και στους χαρούμενους τροχασμούς των δροσερών πεδιάδων.

- γ -

Η Καντόνα, σήμερα ονομάζεται Κουανγκτσόου κι αλλού θα τη συναντήσεις ως Kwangchow, αλλού πάλι ως Guangzhou. Είναι απλωμένη σχεδόν 45° βορειοδυτικά του Χονγκ Κονγκ, στις όχθες του ποταμού Τσου Τσιάνγκ (Zhujiang). Στην πραγματικότητα, άμα χαζέψεις τους χάρτες, ο Ποταμός Τσου (γιατί "τσιάνγκ" σημαίνει ποταμός), αν εξαιρέσεις κάποιους βασικούς άξονες, είναι ένα πλέγμα άπειρων σχισμών και τομών, ένας συγκεχυμένος υδάτινος λαβύρινθος (νάτος πάλι) κι η Καντόνα μια παραλλαγή Βενετίας της Άπω Ανατολής.

Τώρα, δε βρήκα πουθενά την ερμηνεία που αναφέρεται στις σημειώσεις του βιβλίου, πως δηλαδή Τσου Τσιάνγκ σημαίνει "ποταμός του Νερού της Ζωής". Βρήκα όμως ότι μεταφράζεται ως "Pearl River", δηλαδή "Μαργαριταρένιος Ποταμός" ή αν θέλετε "Σιντεφένιος", που μου φαίνεται πιο εύηχο - αν και το σιντέφι μόνο συνεκδοχικά σημαίνει μαργαριτάρι. Πρόκειται, λοιπόν, περί αβλεψίας, παρεξήγησης; Μήπως μερικούς αιώνες πίσω υπήρχαν προσωνύμια, που χάθηκαν μαζί με τις γενιές που τα φρόντιζαν; Μήπως ο Μπόρχες υπονοεί μια σύνδεση, που αγνοώ; ένα κάθετο άλμα απ' τα πέρατα των ανατολικών ερήμων στο χριστιανικό βάπτισμα ή σε κάποια αρχέτυπο αναγέννησης; Ποιος το ξέρει. Θα πρέπει να συνεχίσω στο ημίφως.

- δ -

Ο Αλέξανδρος ο Δίκερως και τα μιαρά γένη των Γωγ και των Μαγώγ στέκονται απείρως πιο προσιτά στον ταπεινό ερευνητή. Πληροφορία αμεσότερα προσβάσιμη, με το πρώτο εντερικό (enter) χτύπημα μαθαίνουμε ό,τι ακριβώς χρειαζόμασταν (κι ίσως ακόμα περισσότερα) : το τείχος του Ισκάνταρ γεννήθηκε κάποτε απ' τα χέρια του μεγάλου στρατηλάτη - λέει το Κοράνι - στον ίσκιο ή στην αγκαλιά της οροσειράς του Καύκασου.

- ε - 

Πλησιάζουμε ολοένα και πιο σιμά στο ζητούμενο. Μ' ένα μαγικό πρόγραμμα πλοήγησης (ή μήπως δεν είναι μαγεία ν' αγναντεύεις την υφήλιο, μέσα απ' το σπίτι σου;), χαράσσουμε χοντρικές γραμμές από τον Καύκασο ως την Καντόνα. Λαμβάνοντας επιπόλαια υπόψιν και τις οδούς του μεταξιού, καταλήγουμε (χοντρικά) άλλοτε στα 7400 κι άλλοτε στα 7800 χιλιόμετρα. Ας κρατήσουμε μια μέση λύση τα 7600.



Αν κι εξαρχής υφέρπει ένα βασικό, ιστορικό σφάλμα: οι περισσότεροι χάρτες υποδεικνύουν ως τέρμα των καραβανιών τη Σανγκάη, ενώ συνδέουν την Καντόνα με την Άπω Δύση περισσότερο ακτοπλοϊκά, παρά ηπειρωτικά. Η πραγματικότητα αρχίζει σιγά-σιγά ν' αντιστέκεται στο μύθο, μπορούμε όμως να τη διασκευάσουμε, χωρίς μεγάλη βλάβη της γενικότητας, όπως λένε οι τρελοί και οι απελπισμένοι. Ας βάλουμε τους ήρωές μας, ν' αφήνουν τις πλαγιές των όρων Κιλιάν κι αντί να συνεχίζουν προς τις ανατολικές ακτές, να κατηφορίζουν νότιο-ανατολικά, μέσα απ' τη Μεγάλη Πεδιάδα της Κίνας.

* * * * * * * * *

Καλό μου ημερολόγιο, ας τα βάλουμε τώρα όλα ετούτα κάτω, να τα μετρήσουμε και να τα συγκρίνουμε. Να δούμε αν οι σχέσεις τους επιβεβαιώνουν την αλήθεια ή την αλληγορία, η οποία δεν είναι παρά μια αλήθεια παράλληλη. Να εξετάσουμε έναν τουλάχιστον δρόμο, απ' τους πολλούς, που μπορεί ν' ακολουθήσει έκαστος, με την ιδιαίτερη διάνοιά του.

Σαράντα κι άλλες σαράντα μέρες πορείας με 20 χιλιόμετρα τη μέρα μας δίνουν 1600 χιλιόμετρα, δηλαδή πολύ λιγότερα από τα 7600 που χρειαζόμαστε. Ακόμα κι αν τραβήξουμε μια ευθεία, ίδια μαχαιριά, από Καύκασο πέρα ως πέρα στην Καντόνα, δεν πέφτουμε βήμα κάτω από τα 6800 χιλιόμετρα. Αντιστρόφως, αν έπρεπε να διανύσει κανείς όλη την απόσταση σε 80 μέρες θα 'πρεπε να προχωρά με ταχύτητα 95 χιλιομέτρων τη μέρα, πράγμα προφανώς εξωπραγματικό, ακόμα και για το ταχύτερο και ακμαιότερο φαρί.

* * * * * * * * *

Ας αφήσουμε, όμως, αριθμούς όπως το 7600 στην άκρη, από φόβο, καθώς ακόμη και οι μικρότερες κλίμακες στις οποίες θα εργαστούμε οδηγούν, ούτως ή άλλως, σε εξωπραγματικά αποτελέσματα. Ας δεχτούμε λοιπόν, για τις ανάγκες μας, πως πρέπει να διανυθούν 1600 χιλιόμετρα και σε καμία περίπτωση τα σχεδόν πενταπλάσια. Όταν διακρίνουμε πια τις πρώτες κορυφές των πύργων του Σιν Καλάν στο βάθος του ορίζοντα - ή έστω τις σημαίες των αυτοκρατόρων να κυματίζουν περήφανα - βρισκόμαστε πια, σύμφωνα με το αφήγημα, στα μισά της διαδρομής. Μας απομένουν ακόμα 800 χιλιόμετρα. Ας δεχτούμε εδώ ότι σε ίσα χρονικά διαστήματα, διανύουμε ίσα διαστήματα, άρα είμαστε όντως στα μισά. Σκάρωσα το παρακάτω σχέδιο.


Μπορούμε να προχωρήσουμε σε μερικές παραδοχές ακόμη, δίχως μεγάλη βλάβη. Για παράδειγμα, το διάστημα ΗΒ είναι εξαιρετικά μικρό, οπότε μπορούμε να το θεωρήσουμε κατά προσέγγιση ίσο με το τόξο των 10 χιλιομέτρων. Επιπλέον, το τόξο των 800 χιλιομέτρων στην πραγματικότητα είναι 790, εφόσον προηγούνται και τα 10 χιλιόμετρα οριζόντιας ορατότητας. Αλλά να σκάσουμε, τώρα, για 10 χιλιόμετρα δεν είναι κάπως μικροπρεπές; ε καλό ημερολόγιο; Ας είναι. 800 χιλιόμετρα, λοιπόν, κατοχυρώθηκε στον κύριο με το σαρίκι και την κελεμπία.

Σειρά έχει ο τύπος, που μας δίνει το μήκος τόξου ή αντιστρόφως (εδώ) την επίκεντρη γωνία, η οποία βαίνει σ' αυτό:


Δουλεύοντας με λ = 800, π = 3.14, ρ = 6370 βρίσκουμε ότι μ° = 7.2°, το συνημίτονο της οποίας είναι 0.992 . Εργαζόμενοι στο τρίγωνο ΑΗΚ με τη βοήθεια του συνημιτόνου, βρίσκουμε εύκολα πως ΑΚ = 6421 χιλιόμετρα και κάτι φραγκοδίφραγκα. Με μια απλή αφαίρεση, καταλήγουμε ότι το ύψος των πύργων θα έπρεπε ν' αγγίζει τα 6421 - 6370 = 51 χιλιόμετρα!!! Είναι ασύλληπτο και μόνο να φανταστεί κανείς τα ενοίκια που θα έπαιζαν ειδικά στο ρετιρέ, όπου σχεδόν βέβαια κάποιος ισχυρός μάγος θα είχε εγκαταστήσει το παρατηρητήριο ή το καταφύγιό του. Φαντάζομαι θυμάσαι ότι στα 18 χιλιόμετρα αφήνουμε πίσω μας την Τροπόσφαιρα και τους τελευταίους απόηχους των καιρών και μπαίνουμε στην ανεμόεσσα Στρατόσφαιρα, η οποία με τη σειρά της ξεψυχά κάπου εκεί στο 50ο χιλιόμετρο ιλίγγου. Είχε κάτι τέτοιο στο μυαλό του ο Μπόρχες; Μάλλον χλώμο. Χλωμό, καθώς θα 'πρεπε τότε να δεχτούμε ότι στο μυαλό του Μπόρχες και στο δικό μου ταπεινό φλοιό είναι δυνατόν να κατοικούν ή να περιδιαβαίνουν παρόμοιες συλλήψεις. Ύστερα και γιατί η δική μου προσέγγιση είναι απλά πεζή.



Θα μπορούσε κανείς να εκφέρει πολυποίκιλες ενστάσεις, όπως ότι για παράδειγμα η γη δεν είναι τέλεια σφαίρα. Αλλά το ταξίδι μας γίνεται σχεδόν παράλληλα στον ισημερινό, κατά μήκος ενός κύκλου που παραμένει σταθερός. Πιο σοβαρές αντιρρήσεις, θα είχαν ως στόχο τις ταπεινές υψομετρικές μας φιλοδοξίες: προς τι ανάξιες καμπούρες, αντί περήφανων οροσειρών, αμβλείς αμμόλοφοι αντί σουβλερών κατάρραχων; Ακόμα κι έτσι, μια ματιά στον πίνακα αποστομώνει. Αν ήθελε κανείς να διακρίνει πύργους στα 800 χιλιόμετρα, δε θα του φτάνανε ένα Έβερεστ κι ο Καύκασος.

Τα νούμερα συνεχίζουν ν' αντιστέκονται, σε κάθε καινούργιο ανακάτωμα, σε κάθε νέα μαντεψιά. Στο σημείο αυτό, η δική μου σκέψη εξαντλείται, τα αποθέματα στερεύουν. Παραδίδω τη σκυτάλη μου στο Μπόρχες ή στο θεό ή στον αναγνώστη. Γιατί όμως, αγαπητό μου ημερολόγιο, θα 'πρεπε ο Μύθος σ' όλα του να 'ναι συνεπής; Πού θα 'βρισκε τότε να πιαστεί η όποια ερμηνεία, σε ποιο πρίσμα θα 'στηνε καταφύγιο το άπειρο; Ή κι αντιστρόφως αν το θες: απαιτώντας τη συνέπεια του μύθου (αλλυσοδένοντάς τον, δηλαδή, σε μια ερμηνεία) πώς θα γλιτώναμε το αληθινό από τα χέρια της συνέπειας, πώς θα σώζαμε τις πραγματικότητες;

Θέλω να πω, ημερολόγιο: μ' ένα ζευγάρι μάτια μοναχά, πόσες όψεις φαντάζεσαι θα είχε τότε ο κόσμος;